题目描述
链接如下
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2258
给出如下定义：
子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2*3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。
(本题目为2014NOIP普及T4)
输入输出格式
输入格式：
第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。
输出格式：
输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
【数据说明】
对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；
对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，
1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。
对于以上的数据范围，我一开始想到的是直接搜索，然后我就估算了一下搜索的代价，最差的情况是，有16行16列，选8行8列，直接枚举的话，有
的运算次数，结果是超过100亿的运算次数显然不能再规定时间内完成。
看到这类矩阵 ，我也能想到是dp，但是对于这种选择分开的dp感觉无从下手。
后来想到，将dp与搜索结合起来使用，先搜索确定是那几行，然后题目就变成了
从m列里选择c列 ，找出最小的分值，这样就可以进行dp了,dp的复杂度是16^3。
最差的情况也只是5000多万次运算。
首先确定状态，状态为dp[i][j]
i表示选择的最后一个列，j表示已经选择的列数。
显然j<=i
状态转移方程也显而易见
dp[i][j]=min(dp[k][j-1]+col[i]+cha[k][i]),k<=i;
其中col[i]表示i列内部之间的分值，cha[k][i]表示第k列与第i列相邻时，他们列之间相差的分值。这两个数组可以在确定行之后预处理出来，预处理的时间是O(n^2)相对于dp的O(n^3）显然可以忽略不计。
下面附上代码。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int n,m,r,c;
int mp[20][20];
int chose[20];
int dp[20][20];
int res=0x3f3f3f3f;
inline int myabs(int a){
return a>=0?a:-a;
}
inline int mymax(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
inline int mymin(int a,int b){
return a<b?a:b;
}
void solve(){
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
int f[20][20];
for(int i=1;i<m;i++){
for(int j=i+1;j<=m;j++){
f[i][j]=0;
for(int k=0;k<r;k++){
f[i][j]+=myabs(mp[chose[k]][i]-mp[chose[k]][j]);
}
}
}
int col[20];
for(int i=1;i<=m;i++){
col[i]=0;
for(int j=1;j<r;j++){
col[i]+=myabs(mp[chose[j]][i]-mp[chose[j-1]][i]);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
dp[i][1]=col[i];
}
for(int i=2;i<=m;i++){
int minc=i<c?i:c;
for(int j=2;j<=minc;j++){
for(int k=j-1;k<i;k++){
dp[i][j]=mymin(dp[i][j],dp[k][j-1]+col[i]+f[k][i]);
}
}
}
for(int i=c;i<=m;i++){
res=mymin(dp[i][c],res);
}
}
void dfs(int x,int now){
if(x==r){
solve();
return;
}
if(r-x>n-now+1)return;
for(int i=now;i<=n;i++){
chose[x]=i;
dfs(x+1,i+1);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
scanf("%d%d",&r,&c);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",mp[i]+j);
}
}
dfs(0,1);
printf("%d\n",res);
return 0;
}
